Melatih Intuisi Rumus dan Trik Cepat Matematika <KALKULUS>

Ketika SMA, saya  < DARAH MERAH >  terpesona dengan soal sederhana. Sebuah soal matematika UMPTN (SPMB) yang hanya melibatkan pemahaman deret aritmetika dan rumus Pythagoras. Saya yakin pemahaman konsep deret dan Pythagoras ini sangat membantu untuk sukses Anda dalam UN, SPMB, UMPTN 2008. Soal sederhana itu adalah:

Sebuah segi tiga siku-siku, panjang sisi-sisinya membentuk barisan aritmetika. Jika luas segi tiga tersebut adalah 96 satuan, maka sisi terpendek adalah…

Soal di atas sering muncul pada tahun 90-an. Lalu sempat menghilang. Lalu muncul lagi. Meski pun pernah menghilang, tetapi prinsip-prinsip penyelesaian soal itu tetap berguna sampai Anda kuliah di perguruan tinggi.

Mari kita diskusikan jalan penyelesaian soal di atas.

Pertama, luas = 96 = ½ x alas x tinggi. Jika kita mengetahui salah satu dari alas atau tinggi maka langsung dapat menghitungnya. Dan yang terpendek adalah jawabannya. Tetapi kita belum mengetahui kedua-duanya.

Segi tiga siku-siku, berlaku dalil Pythagoras: x² + y² = z² ; x atau y adalah yang kita cari. Tetapi kita belum memiliki informasi apa pun tentang xyz ini.

Barisan aritmetika, berlaku selisih setiap sisi adalah sama. Atau setiap sisi dapat kita nyatakan sebagai: a, (a+b), (a+2b).

Kedua, dari pemahaman di atas kita dapat mencoba menyelesaikan soal ini dengan membentuk sebuah sistem persamaan:

96 = ½ . x . y …………………………….(1)

x² + y² = z² ……………………………….(2)

x = a; y = a+b; z = a + 2b ……………(3)

Kita pasti dapat menyelesaikan soal ini. Kita memiliki 3 persamaan dengan 3 variabel yang belum diketahui (x, y, z). Kita boleh yakin akan memperoleh jawaban tunggal yang unik.

Sangat bermanfaat bagi kita untuk memahami dengan mendalam bahwa kita hanya dapat memperoleh solusi unik bila memiliki n persamaan dengan n variabel yang belum diketahui. Jika kita punya 2 persamaan dengan 3 variable yang belum diketahui, kita tidak akan dapat menyelesaikan persamaan tersebut untuk memperoleh jawaban tunggal. Masih terdapat banyak jawaban dari sistem persamaan ini.

Sedangkan jika kita memiliki 3 persamaan dengan 2 variable, kita akan memiliki penyelesaian yang tidak konsisten. Pemahaman konsep ini justru lebih penting dari sekedar mendapatkan jawaban soal UN, SPMB atau UMPTN.

Saya perhatikan soal UN, SPMB, UMPTN sering memunculkan 3 persamaan dengan 3 variable yang belum diketahui. Sayangnya para siswa banyak yang tidak memahami ini. Mereka bekerja keras dengan menghitung sana, menghitung sini. Tetapi tidak akan pernah mendapatkan jawaban yang diharapkan.

Mengapa? Mereka hanya menggunakan 2 persamaan. Tentu tidak akan selesai. Sebelum mengerjakannya, pastikan dulu apakah kita sudah memiliki kondisi yang mencukupi?  

Kembali ke contoh soal di atas, bagaimana cara kita menyelesaikan persamaan itu? Secara umum kita dapat menyelesaikannya dengan teknik eliminasi atau substitusi. Kelak kita akan belajar menyelesaikan sistem persamaan dengan bantuan aljabar matrik.

Ketiga, mari kita selesaikan sesuai rencana. Substitusi persamaan (3) ke persamaan (2) kita peroleh:

a² + (a+b)² = (a+2b)²        ……………(4)

Silakan mencoba menghitungnya. Kombinasikan dengan persamaan (1) yang sedikit  kita ubah menjadi persamaan (5) berikut:

96 = ½ . a (a+ b)  ……..(5)

Pasti kita akan memperoleh nilai a dan b. Tetapi berapa lama kita akan menemukannya? Bagaimana dengan risiko salah hitung?

Keempat, mari kita cermati seluruh langkah yang kita lakukan.

Barisan aritmetik sering lebih mudah bila kita tulis sebagai:

(a – b), a, (a + b) ………….(6)

Rumus Pythagoras menjadi:

(a – b)² + a² = (a + b)²  …………….(7)

Silakan menghitung persamaan (7) ini. Dengan mudah kita akan memperoleh:

a = 4b …………(8)

Substitusi ke persamaan luas menjadi:

96 = ½ (a – b).a = ½ (4b – b).4b

Kita peroleh

b = 4 dan

a = 16

Sisi terpendek adalah a – b = 16 – 4 = 12 (Selesai).

Adakah cara lain?

Tentu ada. Mengapa kita tidak memanfaatkan intuisi saja? Mengapa kita tidak memanfaatkan dugaan saja? Bukankah Einstein menduga bahwa postulatnya benar? Kemudian dengan postulat ini Einstein mengembangkan rumus-rumusnya yang menghasilkan E = mc².

Mari kita coba dengan menduga seperti Einstein!

Postulat:

Hanya ada satu jenis segitiga siku-siku yang sisinya membentuk barisan aritmetika yaitu segi tiga yang panjang sisinya adalah 3,4, dan 5 atau kelipatannya.

Mari kita terapkan postulat itu untuk contoh soal kita:

96 = ½ (3n)(4n) ………….(9)

 n = 4

Jadi, sisi terpendek adalah 3n = 12 (Selesai).

Dengan banyak memanfaatkan intuisi dan beragam dugaan, kita memperoleh banyak terobosan dalam matematika. Anda dapat mengembangkan banyak rumus dan trik cepat matematika dengan memanfaatkan intuisi. .. '^o^